公司员工可以自己找职业健康检查机构做职业健康检查吗？

不可以。

《职业健康检查管理办法》第十二条 职业健康检查机构开展职业健康检查应当与用人单位签订委托协议书，由用人单位统一组织劳动者进行职业健康检查；也可以由劳动者持单位介绍信进行职业健康检查。